La Parábola
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
Elementos de la parábola
Directriz:
La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco
Eje Focal:
El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice:
Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.
Lado Recto:
Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parábola (A,B).
Parámetro:
La distancia entre el vértice y la directriz que es la misma entre el vértice y el foco de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).
Ecuación de la Parábola
La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es
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La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje y, vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:
Construcción
Se debe tomar una hoja de acetato en ella se dibuja un punto. Para construir la parábola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto del borde inferior coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto del borde inferior cada vez, tendremos que las marcas de los dobleces han formado una parábola. El punto dibujado es el foco y el borde inferior de la hoja, la directriz. Otra forma de encontrar una parábola es la siguiente. Se debe hacer un corte a un cono de revolución con un plano, la dirección del corte debe ser desde la base del cono a cualquier punto del cono. El perímetro de este corte será una parábola.
Ecuación Simple
Obtenemos una ecuación simplificada para una parábola si colocamos su vértice en el origen y su directriz paralela al eje x. Si el foco es el punto (0,p) entonces la directriz tiene la ecuación y=-p y la parábola tiene la ecuación
x^2=4py.
Si escribimos a=1/(4p), entonces la ecuación de la parábola toma la forma:
y=ax^2.
La parábola se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0. La gráfica es simétrica con respecto al eje Y, porque su ecuación no cambia cuando x se remplaza por -x. Esto corresponde a que la función f(x)=ax^2 es una función par.
Si intercambiamos x y y en la ecuación y=ax^2, el resultado es una parábola cuya directriz es paralela al eje Y con la ecuación:
x=ay^2
Este intercambio es una reflexión respecto a la diagonal y=x. La parábola x=ay^2 se abre hacia la derecha si a>0 y hacia la izquierda si a <0. Para este caso la parábola es simétrica con respecto al eje x porque la ecuación no cambia cuando y es remplazada por -y.
Ecuación General
Si se toma la ecuación con eje focal paralelo al eje x:
(y-k)^2=4p(x-h)
resolviendo el producto, la potencia e igualando 0 , se obtiene:
y^2--2ky-4px+k^2+4ph=0
tomando los valores constantes -2k como D , -4p como E y k^2 + 4ph como F se tiene:
y^2 + Dy + Ex + F = 0
que es la ecuación general para una parábola con eje focal paralelo al eje x
Si se toma la ecuación con eje focal paralelo al eje y:
(x-h)^2=4p(y-k)
resolviendo el producto, la potencia e igualando 0 , se obtiene:
x^2-2hx-4py+h^2+4pk=0
tomando los valores constantes -2h como D , -4p como E y h^2 + 4pk como F se tiene:
x^2 + Dx + Ey + F = 0
que es la ecuación general para una parábola con eje focal paralelo al eje y
APLICACIONES DE LA PARÁBOLA
Propiedad óptica
Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parábola (ver figura). Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Se sigue que si la parábola gira en torno a su eje para formar una concha reflectora hueca, todos los rayos de luz que partan del foco se reflejarán, después de chocar con la concha, paralelos al eje. Esta propiedad de la parábola se usa en el diseño de faros buscadores, en los que la fuente de luz se coloca en el foco. Recíprocamente, se usa en ciertos telescopios en los que los rayos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran son enfocados hacia un solo punto.
Demostración de la propiedad óptica
En la figura, sea QP la tangente en P y GP la paralela al eje de las abscisas. Debemos demostrar que a = b, reducimos el problema a demostrar que el triángulo FQP es isósceles.
Para empezar, obtendremos la abscisa de Q. Derivando y2 = 4px en forma implícita obtenemos 2y'y = 4p, de lo cual concluimos que la pendiente de la tangente en P(x 0,y0) es 2p/y0.La ecuación de esta recta es
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Poniendo y = 0 y despejando x se obtiene
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es decir
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Como y02 = 4px0, obtenemos que x-x0 = -2x0, es decir, x = -x0; Q tiene como coordenadas ( -x0,0) .
Para demostrar que los segmentos FP y FQ tienen la misma longitud, usamos la fórmula de la distancia.
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El sonido y las ondas electromagnéticas obedecen las mismas leyes de la reflexión de la luz, por lo que se usan micrófonos parabólicos para recoger y concentrar sonidos que provienen, por ejemplo, de una parte distante del estadio de fútbol. Las antenas parabólicas utilizan la propiedad de reflexión de las ondas electromagnéticas para recibir o enviar señales a estaciones de radio, satélites de comunicación o galaxias remotas.
La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo describe una parábola abierta hacia abajo. Esta propiedad fue descubierta por Galileo en el siglo XVI.
Demostración
Para probar esta propiedad, haremos uso de las siguientes consideraciones físicas. El vector velocidad inicial v0 se descompone en su componente horizontal v0x y su componente vertical v0y de acuerdo a
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donde a es el ángulo de inclinación del disparo (ver la figura anterior). Si despreciamos la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad es constante a lo largo del tiempo, en cambio, la componente vertical de la velocidad se ve afectada por la fuerza de gravedad de acuerdo a la Ley de Newton:
Si un cuerpo tiene una velocidad vertical inicial y únicamente está sometido a la fuerza de gravedad g, su aceleración en cada instante es -g.
Como la aceleración es la derivada de la velocidad y la velocidad inicial es v0y, tenemos
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integrando ambos lados,
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evaluando v en t = 0, obtenemos que la constante k es igual a v0y.
Como la velocidad es la derivada de la posición y el proyectil es lanzado desde el nivel del piso, tenemos
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integrando nuevamente, obtenemos
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donde g = 9.81 m/s2, así después de t segundos las coordenadas de la posición del proyectil son
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si despejamos t de la primera ecuación y sustituimos su valor en la segunda obtenemos una ecuación de la forma
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que es la ecuación de una parábola, donde
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es la altura máxima alcanzada por el proyectil y
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es el alcance del proyectil, es decir, la distancia horizontal que recorre antes de caer al suelo.
Ejemplo
Un lanzador de beisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de 100 Km/h y un ángulo de 40°. ¿A qué altura llegará la pelota y a qué distancia del lanzador caerá la pelota al piso?
Solución:
Transformamos la velocidad a m/s:
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Sustituimos los valores conocidos en la expresión para la altura máxima:
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ahora lo hacemos en la expresión para la distancia máxima:
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El cable de suspensión de un puente uniformemente cargado toma la forma de una parábola.
Demostración.
Consideremos un puente colgante que pesa m kg por metro lineal y que está sostenido por un cable que tiene un peso despreciable comparado con el peso del puente. La sección OP del cable desde el punto más bajo (el origen) a un punto general P( x,y) se muestra en la siguiente figura.
Las fuerzas que actúan en esta sección del cable son:
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Si el puente está en equilibrio, las componentes horizontal y vertical de T deben equilibrar a H y a W respectivamente, por lo tanto
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Llamamos y( x) a la función que describe la forma del puente.
La curva pasa por el origen, así que y( 0) = 0
Como T es tangente al puente, entonces
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debemos resolver entonces
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Integrando de ambos lados, obtenemos
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como y( 0) = 0,entonces k = 0, así que la curva que describe al puente es
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que efectivamente es una parábola.
Ejemplo
Los cables del tramo central de un puente colgante tienen la forma de una parábola. Si las torres tienen una separación de 800 metros y los cables están atados a ellas 400 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 100 metros de la torre? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio del puente.
Solución
La ecuación de la parábola es x2 = 4py. Debemos encontrar p. Como los puntos ( 400,400) y ( -400,400) están en la parábola, resolvemos
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obteniendo p = 100. Así que la ecuación de la parábola es x2 = 400y.
Queremos encontrar ahora la segunda coordenada del punto de la parábola cuya primera coordenada es x = 300.
Resolvemos
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obteniendo y = 225.
Así que la altura del puntal que está a 100 m de la torre es de 225 m.
Fotos:
COCINA SOLAR
Fotos:
COCINA SOLAR
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